English

Сложная динамика нелинейных механических
и радиофизических систем и ее приложения

Грант Российского научного фонда 15-12-20035

 

Проект выполняется в 2015-2017 гг.
в Удмуртском государственном университете

(Ижевск)

Руководитель проекта:

Кузнецов Сергей Петрович

 

Участники проекта:

Борисов Алексей Владимирович

Килин Александр Александрович

Цыганов Андрей Владимирович

Сатаев Игорь Рустамович

Бизяев Иван Алексеевич

Ветчанин Евгений Владимирович

Ердакова Надежда Николаевна

Казаков Алексей Олегович

Круглов Вячеслав Павлович

Пивоварова Елена Николаевна

Основные результаты 2015 года

Построены новые примеры систем с грубым хаосом на основе связанных ротаторов или осцилляторов, реализующие динамику Аносова, и модификации этих систем автоколебательного типа. Разработаны их математические модели, включая описание в терминах геодезических потоков на двумерном многообразии отрицательной кривизны, и проведено численное исследование. Показано, что хаотическая динамика введенных в рассмотрение автоколебательных систем ассоциируется с гиперболическими аттракторами, и, следовательно, является грубой, по крайней мере, при относительно небольшой надкритичности автоколебательного режима.

Предложены схемотехнические решения электронных устройств, соответствующих уравнениям двумерной задачи о динамике пластины в жидкости при нулевой плавучести, постоянной циркуляции вокруг профиля, и приложенном вращающем моменте, и продемонстрирована их хаотическая динамика.

Для описания движения тела эллиптического профиля в жидкости с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений предложена методология, основанная на сочетании феноменологического подхода, постулирующего вид уравнений, и выработанных в современной нелинейной динамике приемов реконструкции моделей по реализациям, в качестве которых используются результаты численного решения двумерной задачи для уравнения Навье-Стокса.

Для управляемого движения произвольного двумерного тела в идеальной жидкости при постоянной циркуляции вокруг тела показано, что посредством изменения положения внутренней массы и вращения внутреннего ротора можно добиться перемещения тела в окрестность заданной точки пространства.

Развита теория возбуждения акустических колебаний и волн в резонаторных и периодических структурах, где в качестве возбуждаемого акустического поля рассматривается поле скоростей, а в качестве источников — завихренность в потоке. Для двумерных задач сформулированы уравнения возбуждения акустических колебаний в форме, аналогичной уравнениям возбуждения электродинамических резонаторов и периодических структур в электронике сверхвысоких частот, а для трехмерного случая получены уравнения, повторяющие электродинамическую теорию по общей структуре. На этой основе рассмотрены задачи о неустойчивости при взаимодействии вихрей с периодическими структурами.

Сформулирована и исследована неголономная модель волчка в поле тяжести, являющаяся обобщением классической неголономной задачи Суслова. В динамике волчка Суслова обнаружены консервативный хаос, странные аттракторы, промежуточный тип хаоса – смешанная динамика, а также выявлены и изучены новые для этого объекта эффекты реверса и переворота оси вращения.

Для задач о материальной точке, совершающей движение в потенциальном поле в трехмерном евклидовом пространстве при наличии неголономных связей, в частности, для неголономного осциллятора и системы Гейзенберга, методом приводящего множителя Чаплыгина получено конформно-гамильтоново представление с приведением к рассмотрению частицы в потенциальном поле на плоскости или сфере. Для задачи с неголономной связью Блэкола указана невозможность гамильтонизации.

Установлено, что неголономная модель волчка Чаплыгина демонстрирует сценарии перехода к хаосу и разрушение квазипериодического движения, типичные для диссипативной динамики, включая переход через удвоения периода по Фейгенбауму и удвоения торов. В определенных областях параметров для волчка Чаплыгина показана возможность реализации характерных «метасценариев» эволюции сосуществующих аттракторов (то есть совокупностей бифуркационных событий, содержащих в качестве своих этапов типичные сценарии перехода к хаосу), в том числе с возникновением «восьмерочного» аттрактора и специфического кольцевого гетероклинического аттрактора.

Публикации по проекту 2015 г.

           Borisov A.V., Mamaev I.S. Symmetries and reduction in nonholonomic mechanics //Regular and Chaotic Dynamics, 2015, 20, №5, 553-604.

           Bizyaev I.A., Borisov A.V., Kazakov A.O. Dynamics of the Suslov problem in a gravitational field: Reversal and strange attractors //Regular and Chaotic Dynamics, 2015, 20, №5, 605-626.

           Kuznetsov S.P. Hyperbolic Chaos in Self-oscillating Systems Based on Mechanical Triple Linkage: Testing Absence of Tangencies of Stable and Unstable Manifolds for Phase Trajectories //Regular and Chaotic Dynamics, 20, 2015, No 6, 649–666.

           Tsiganov A.V. On Integrable Perturbations of Some Nonholonomic Systems //Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 11, 2015, 085.

           Кузнецов С.П. К вопросу о правомерности неголономной модели динамики кельтского камня //УФН, 185, 2015, №12, 1342-1344.

           Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Аналогия в задачах о взаимодействии электронных и гидродинамических потоков с полями резонаторов и периодических структур. Часть 1 //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 23, 2015, №5, 5-40.

Основные результаты 2016 года

Впервые разработан и апробирован применительно к системам с запаздыванием метод компьютерного тестирования гиперболической природы хаотических аттракторов, основанный на вычислении углов между расширяющими, сжимающими и нейтральными многообразиями для фазовых траекторий («критерий углов»). Представлено обоснование гиперболической природы хаоса для предложенных ранее примеров систем с запаздыванием.

Предложен ряд систем на основе взаимодействующих ротаторов, воспроизводящих на аттракторе динамику геодезического потока на поверхности отрицательной кривизны. На этой основе построена радиофизическая схема генератора грубого хаоса, где в качестве электронного эквивалента индивидуального ротатора выступает элемент в виде цепочки фазовой автоподстройки частоты.

Методика реконструкции системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе обработки временных рядов, полученных при численном решении задачи на базе уравнений Навье – Стокса, успешно апробирована для приближенного описания плоской задачи о движении тела эллиптического профиля в несжимаемой вязкой жидкости под действием силы тяжести.

С использованием подхода к анализу взаимодействия вихревых потоков с акустическими полями резонаторов и периодических структур по аналогии с электродинамикой рассмотрена задача о взаимодействии плоской ленты вихрей с периодической структурой типа «гребенки». Получено дисперсионное уравнение задачи и указаны конструкции гидродинамических устройств, являющихся аналогами приборов СВЧ электроники со скрещенными полями.

Для системы двух точечных вихрей в гидродинамическом потоке при возбуждении внешним акустическим воздействием описаны бифуркации седлоузла, суперкритическая и субкритическая обратимые бифуркации вил, в том числе бифуркации потери симметрии, приводящие к появлению и трансформации устойчивых регулярных режимов.

Для задачи о движении тела с подвижными внутренними массами и внутренним ротором в идеальной несжимаемой жидкости доказана управляемость для различных комбинаций управляющих элементов. Для случая нулевой циркуляции скорости жидкости вокруг тела построены явные управления (гейты), обеспечивающие поворот и направленное движение. Показано, что тело можно перевести из любого начального в любое конечное положение с помощью движения двух внутренних материальных точек по окружностям одинакового радиуса, а также с помощью вращения внутреннего ротора, сопровождаемого возвратно-поступательными движениями внутренней массы или движениями одиночной внутренней массы по окружности.

Указано схемотехническое решение и проведено сравнительное исследование в рамках численных расчетов и моделирования с использованием пакета Multisim параметрического генератора на основе реактивного элемента имеющего в точности квадратичную нелинейную характеристику. Последнее обстоятельство позволяет использовать схему для аналогового моделирования движения тела эллиптического профиля в сопротивляющейся среде в условиях нулевой плавучести.

Описан новый феномен нелинейной динамики – странные нехаотические автоколебания. Примером служит автономная система, построенная из дисков с фрикционной передачей, приводимых в движение постоянным приложенным моментом, где реализуется странный нехаотический аттрактор. До сих пор такие аттракторы рассматривались только в неавтономных системах с квазипериодическим внешним воздействием.

Для динамически несимметричного шара, совершающего движение на горизонтальной плоскости, с наложенной неголономной связью, обнаружены сценарий перехода к хаосу, связанный с разрушением инвариантной кривой через бифуркацию Неймарка-Сакера, и сценарий бифуркаций удвоения периода по Фейгенбауму. Аттракторы в сохраняющей механическую энергию неголономной модели возникают благодаря наличию в пространстве состояний областей сжатия наряду с областями расширения фазового объема.

Для саней Чаплыгина на плоскости, совершающих движение в присутствии слабой вязкой силы сопротивления под действием периодических импульсов зависящего от пространственной ориентации вращающего момента, получено отображение, описывающее эволюцию состояний в дискретном времени. Продемонстрированы, обсуждены и классифицированы динамические режимы, в том числе регулярные движения и блуждания диффузионного типа, отвечающие, соответственно, регулярным и хаотическим аттракторам выведенного трехмерного отображения.

Предложен новый метод построения преобразований Бэклунда уравнения Гамильтона-Якоби и получены явные формулы для интегрируемых в квадратурах систем на гиперэллиптических кривых первого и второго рода. Рассмотрен вопрос о применимости математических методов гамильтоновой динамики к конформно-гамильтоновым векторным полям, проанализировано несколько примеров таких полей, возникших в теории управления, и открыта возможность ввести новый признак классификации подобных систем.

Публикации по проекту 2016 г.

           Kuznetsov S.P., Kruglov V.P. Verification of hyperbolicity for attractors of some mechanical systems with chaotic dynamics //Regular and Chaotic Dynamics, 21, 2016, No 2, 160–174.

           Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity of chaotic dynamics in time-delay systems. //Phys. Rev. E, 94, 2016, No 1, 010201(R). (Preprint.)

           Jalnine A.Yu., Kuzneysov S.P. Strange nonchaotic self-oscillator //Europhysics Letters, 115, No 3, 2016, 30004. (Preprint.)

           Bizyaev I.A., Borisov A.V., Mamaev I.S. The Hojman Construction and Hamiltonization of Nonholonomic Systems //Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 12, 2016, 012.

           Vetchanin E.V., Kazakov A.O. Bifurcations and Chaos in the Dynamics of Two Point Vortices in an Acoustic Wave //International Journal of Bifurcation and Chaos, 26, 2016, No 4, 1650063.

           Grigoryev Yu.A., Sozonov A.P., Tsiganov A.V. Integrability of Nonholonomic Heisenberg Type Systems //Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 12, 2016, 112.

           Borisov A.V., Kuznetsov S.P. Regular and Chaotic Motions of a Chaplygin Sleigh under Periodic Pulsed Torque Impacts. //Regular and Chaotic Dynamics, 21, 2016, No 7-8, 792–803.

           Borisov A.V., Kazakov A.O., Sataev I.R. Spiral Chaos in the Nonholonomic Model of a Chaplygin Top //Regular and Chaotic Dynamics, 21, 2016, No 7-8, 939–954.

           Borisov A.V., Kazakov A.O., Pivovarova E.N. Regular and Chaotic Dynamics in the Rubber Model of a Chaplygin Top //Regular and Chaotic Dynamics, 21, 2016, No 7-8, 885–901.

           Цыганов А.В. Об одном семействе преобразований Бэклунда //Доклады Академии наук, 468, 2016, No 4, 380–382.

           Кузнецов С.П. Гиперболический хаос в автоколебательных системах на основе тройного шарнирного механизма: Проверка отсутствия касаний устойчивых и неустойчивых многообразий фазовых траекторий //Нелинейная динамика, 2016, 12, №1, 121-143.

           Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Седова Ю.В. Маятниковая система с бесконечным числом состояний равновесия и квазипериодической динамикой //Нелинейная динамика, 2016, 12, №2, 223–234.

           Сатаев И.Р., Казаков А.О. Сценарии перехода к хаосу в неголономной модели волчка Чаплыгина //Нелинейная динамика, 2016, 12, №2, 121-143.

           Бизяев И.А., Борисов А.В., Казаков А.О. Динамика задачи Суслова в поле тяжести: реверс и странные аттракторы //Нелинейная динамика, 2016, 12, №2, 263-287.

           Борисов А.В., Кузнецов С.П., Мамаев И.С., Тененев В.А. Описание движения тела эллиптического сечения в вязкой несжимаемой жидкости с помощью модельных уравнений, реконструированных на основе обработки данных //Письма в ЖТФ, 2016, 42, №17, 9-19.

           Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Аналогия в задачах о взаимодействии электронных и гидродинамических потоков с полями резонаторов и периодических структур. Часть 2. Самовозбуждение, усиление и подавление сигнала //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 24, 2016, №2, 5-26.

           Кузнецов С.П. Аттрактор типа Лоренца в электронном параметрическом генераторе и его трансформация при нарушении точных условий параметрического резонанса //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 24, 2016, №3, 68-87.

           Кузнецов С.П. От динамики Аносова на поверхности отрицательной кривизны к электронному генератору грубого хаоса // Известия Саратовского университета - Новая серия. Серия Физика, 16, 2016, №3, 131–144.

           Ветчанин Е.В., Килин А.А. Управляемое движение твердого тела с внутренними механизмами в идеальной несжимаемой жидкости //Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 2016, 295, 321–351.

           Kuznetsov S.P., Borisov A.V., Mamaev I.S., Tenenev V.A. Reconstruction of model equations to the problem of the body of elliptic cross-section falling in a viscous fluid // VI International Conference GDIS 2016. Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2016. ISBN 978-5-4344-0361-0. P.39-40.

           Sataev I.R., Kazakov A.O. Routes to chaos in the nonholonomic model of Chaplygin top // VI International Conference GDIS 2016. Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2016. P.53-54.

           Кузнецов С.П. Гиперболическая динамика физических систем. // Международная конференция “Системы Аносова и современная динамика”, посвященная 80-летию со дня рождения Д.В. Аносова, Москва, 19–23 декабря 2016 г. Тезисы докладов. М.: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 2016. С.68-71.

           Grigoryev Yu.A., Sozonov A.P., Tsiganov A.V. On integrable perturbations of the Brockett nonholonomic integrator //Preprint: arXiv:1603.03528 [nlin.SI], 2016, 1-14.

Публикации по проекту 2017 г.

           Kuzneysov S.P. Regular and chaotic motions of the Chaplygin sleigh with periodically switched location of nonholonomic constraint. //Europhysics Letters, 118, No 1, 2017, 10007. (Preprint.)

           Jalnine A.Yu., Kuzneysov S.P. Autonomous Strange Nonchaotic Oscillations in a System of Mechanical Rotators //Regular and Chaotic Dynamics, 22, 2017, No 3, 210–225.

           Kilin A.A., Pivovarova E.N. The Rolling Motion of a Truncated Ball Without Slipping and Spinning on a Plane //Regular and Chaotic Dynamics, 22, 2017, No 3, 298-317.

           Kuptsov P.V., Kuzneysov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2018, 56, 227-239. (Preprint.)

           Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы. //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 25, 2017, №2, 4-36.

           Жалнин А.Ю., Кузнецов С.П. Странные нехаотические автоколебания в системе механических ротаторов //Нелинейная динамика, 2017, 13, №2, 257-275.

           Борисов А. В., Казаков А. О., Пивоварова Е. Н. Регулярная и хаотическая динамика в «резиновой» модели волчка Чаплыгина //Нелинейная динамика, 2017, 13, №2, 277-297.

           Кузнецов С.П., Круглов В.П. О некоторых простых примерах механических систем с гиперболическим хаосом. //Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 297, 232–259. (Препринт.)

           Kuznetsov S.P. Complex dynamics of Chaplygin sleigh due to periodic switch of the nonholonomic constraint location //The International Scientific Workshop "Recent Advances in Hamiltonian and Nonholonomic Dynamics" (Moscow, Dolgoprudny, Russia, 15-18 June 2017). Book of Abstracts. Moscow – Izhevsk: Institute of Computer Science, 2017. ISBN 978-5-4344-0445-7. P.53-56.

           Kuznetsov S.P. Design principles and illustrations of hyperbolic chaos in mechanical and electronic systems. Proceedingsof the International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (Moscow – St. Petersburg, Russia, 22 – 28 July, 2017). Institute of Applied Physics of RAS, Nizhny Novgorod, 2017. P.44.

           Жалнин А.Ю., Кузнецов С.П. Странные нехаотичесие автоколебания. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.61-62.

           Круглов В.П., Кузнецов С.П. Проверка гиперболичности хаотических аттракторов модельных механических систем. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.125-126.

           Кузнецов С.П. Сложная динамика механических систем. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.133-135.

           Купцов П.В., Кузнецов С.П. Ляпуновский анализ гиперболического хаоса в системах с несколькими запаздываниями. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017, c.146-147.

           Tsiganov A.V. Backlund transformations and divisor doubling //Preprint: arXiv:1702.03642 [nlin.SI], 2017, 1-11.

           Kuznetsov S.P. Chaos in three coupled rotators: From Anosov dynamics to hyperbolic attractors //Preprint: arXiv:1708.04493 [nlin.CD], 2017, 1-19.